МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

 

Интегральным преобразованием называется переход  от функции переменной  t  к функции   переменной    согласно соотношению

                                                        (4.3.1)

Функция  называется ядром интегрального преобразования.  называется изображением функции , сама же функция- оригиналом по отношению к  . Функция-оригинал может зависеть от нескольких переменных, а интегральное преобразование выполняться по одной или нескольким из них. Наиболее интересны интегральные преобразования, для которых можно указать регулярный алгоритм (способ) решения обратной задачи – нахождения изображения по заданному оригиналу. Именно такие интегральные преобразования применяются при решении задач математической физики.

Алгоритм решения задачи методом интегральных преобразований заключается в следующем:

1)переходим от задачи для оригинала U к задаче для изображения , выполняя интегральное преобразование по одной из переменных;

2)решаем задачу для , которая оказывается более простой по сравнению с исходной задачей. Именно это и оправдывает применение метода интегральных преобразований;

3)по найденному изображению восстанавливаем оригинал посредством обратного интегрального преобразования.

Реально используется ограниченное число интегральных преобразований: преобразование Фурье, преобразование Лапласа, преобразование Лапласа-Карсона, преобразование Фурье-Бесселя. Мы рассмотрим подробно два первых преобразования.