ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

 

Преобразование Лапласа определяется соотношением          

                                                    (4.3.9)

Оно применимо к функциям, удовлетворяющим условию

            

и не имеющих особенностей при . Преобразование Лапласа производится по переменной, определенной на полубесконечном интервале, чаще всего по времени. Установим основные свойства преобразования Лапласа.

1. Преобразование Лапласа производной.

         (4.3.10)

        

           

                                              (4.3.11)

Аналогично преобразуются производные высших порядков.

1. Теорема смещения.

  (4.3.12)

2. Теорема запаздывания.

  

Обычно делают предположение, что  при  . Поэтому

                       (4.3.13)

3. Интегрирование изображения.

        

                                (4.3.14)

4. Дифференцирование изображения.

       

                        (4.3.15)

5. Изображение интеграла.

        Пусть  .

 

где  . Таким образом,  

                                                          (4.3.16)

Если обозначить через  операцию нахождения оригинала по его изображению по Лапласу, то из (4.3.16) получим

                                                       

6. Теорема свёртки.

Пусть ,  . Найдём изображение свертки  .

    

     

 

                                                                     (4.3.17)

Символическая формула обращения произведения изображений имеет вид

8.    Обращение преобразования Лапласа.

 

С помощью свойств 1. – 7. можно облегчить нахождение оригинала известному сложному изображению по Лапласу . Но на определенном этапе приходится оригинал некоторого “элементарного” (не в смысле простоты, а “неделимого” далее) изображения. Эту задачу решает теорема Меллина: если функция  комплексной  является в области   изображением кусочно-гладкой функции  действительной переменной t, обладающей степенью роста a, то

                                       (4.3.18)

Интегрирование в (4.3.18) выполняется по прямолинейному контуру , показанному на рис.100.  

              

Рис.100  Контур интегрирования при обращении  преобразования

               Лапласа

 

Достаточными условиями существования оригинала  следующие:

       а)   - аналитическая функция в области ;

       б)  в области  функция  стремится к нулю при  равномерно относительно ;

       с)  в области  .

Таким образом, обращение преобразования Лапласа существенным образом опирается на свойства функций комплексной переменной. Алгоритм вычисления интеграла (4.3.18) основан на следующем важном свойстве аналитических функций комплексной переменной (теорема Коши): интеграл от однозначной аналитической функции  по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в односвязной области G, равен нулю,

                                      

Функция аналитична во всех точках комплексной плоскости, за исключением особых точек. Особые точки бывают двух видов - полюса и точки ветвления. В полюсах функция обращается в бесконечность, а точка ветвления характерна тем, что при её обходе функция оказывается многозначной. Полюсами обычно являются точки обращения в нуль знаменателя функции , а точками ветвления – нули иррациональных функций. Например, для функции  точка  есть полюс первого порядка, а точка  - точка ветвления. Если в (4.3.18) контур интегрирования замкнуть в левой полуплоскости с обходом всех особенностей, как показано на рис.101, то по теореме Коши получим

      

В силу свойств функции    при  , поэтому

      

В конечном результате следует совершить предельный переход .

Таким образом, интегрирование в комплексной плоскости сводится к  вычислению нескольких интегралов от функций действительной переменной. Это в большинстве случаев весьма трудоёмкая задача. Значительно облегчает жизнь то обстоятельство, что такие интегралы вычисляются свыше двухсот лет. За это время составлены таблицы прямых и обратных преобразований Лапласа для множества функций. Например, в Справочнике по операционному исчислению В.А. Диткина и А.П. Прудникова приведены прямые преобразования Лапласа для 1250 функций  и обратные преобразования Лапласа для 1585 функций . Поэтому во многих случаях обращение преобразования Лапласа, с использованием таблиц преобразований совместно со свойствами 1. – 7., выполняется относительно просто.

Решим методом преобразования Лапласа краевую задачу для неоднородного уравнения теплопроводности на полупрямой

                              

                                                                     (4.3.19)

                              

Пусть постоянный источник теплоты действует при

                              

Применим к задаче (4.3.19) преобразование Лапласа:

                  

или                                       (4.3.20)

Решение неоднородной задачи (4.3.20) находим методом вариации постоянных в решении соответствующей однородной задачи

                                                (4.3.21)

Считаем  и  функциями x и p и полагаем

                                                       

где  ,  . После подстановки (4.3.21) в (4.3.20) получаем второе уравнение

                          

Из двух последних уравнений находим производные

               

                 

После интегрирования получаем

      

      

Общее решение уравнения (4.3.20) запишем в виде

      

Постоянные  и  находим из граничных условий. , если

            

Из условия  следует . Таким образом, окончательно получаем изображение по Лапласу исходной задачи

    

   

   

                                                                                                             (4.3.23)

Оно записано в виде, удобном для нахождения оригинала. По таблицам обратных преобразований Лапласа находим

                  

Откуда следует, что

,

поэтому третий и четвертый интегралы в (4.3.23) равны нулю. Второй интеграл обратим, используя свойство 7. преобразования Лапласа,

      

                                       

Окончательно получаем

  

          (4.3.24)

Первое слагаемое в (4.3.24) есть решение однородной задачи

                            

Второе слагаемое – решение неоднородной задачи теплопроводности на полупрямой при нулевых начальных условиях

                  

               

Таким образом, методом преобразования Лапласа получен тот же результат, что и методом функций Грина, но прямым, алгоритмическим, универсальным  методом. Основная трудность в методе преобразования Лапласа состоит в обращении изображения, которое может оказаться весьма сложным.