4.2.3.      ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

 

Преобразование Фурье по одной переменной определяется соотношением

                                                   (4.3.2)

В данном случае ядро интегрального преобразования имеет вид

                                

Преобразование Фурье применимо к функциям  , удовлетворяющим условиям Дирихле:

 - область определения функции можно разбить на конечное число интервалов монотонности;

 -  функция является квадратично интегрируемой,

 

Из математического анализа известны следующие свойства преобразования Фурье, особенно полезные при его применении к решению задач математической физики.

Обращение преобразования Фурье производится согласно соотношению

                                            (4.3.3)

Изображение производной  пропорционально изображению функции :   

       (4.3.4)

Теорема свёртки. Свёрткой функций и  называется интеграл

                                                    (4.3.5)

Подставим (4.3.3) в (4.3.5).

      

                  

   

   

                                         (4.3.6)

Получили важное соотношение – оригинал от произведения двух изображений равен свертке оригиналов этих изображений.

Преобразование Фурье применяется к решению задач на бесконечном координатном интервале. Чаще всего это пространственный интервал, что характерно для задач о распространении волн или тепла в безгранично пространстве.

Применим метод преобразования Фурье к задаче Коши для одномерного  волнового уравнения

                              

                                                                     (4.3.7)

                              

Произведем преобразование Фурье по координате x:

                  

             

         

Получаем краевую задачу для изображения

                              

                  

                              

Решение её тривиально.

                 

            

             ,      

                     

      

                 

                  

   

       

       

       

Получили не что иное, как частный случай формулы Даламбера.