4.2.3.      РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА НА ПОЛУПРЯМОЙ

 

Многие физические объекты нагреваются или охлаждаются через плоскую поверхность, которую можно считать бесконечной. В этом случае температура зависит от одной координаты. Математическая задача по её нахождению ставится следующим образом: найти функцию , удовлетворяющую при  уравнению теплопроводности

                                                     (4.325)

начальному условию   и граничному условию при .

Рассмотрим случай граничного условия первого рода . В соответствии с общей идеей метода функций Грина решение задачи представляем в виде

                                                 (4.226)

Функция Грина   есть решение задачи

                              

                                                           (4.327)

                              

Найти её можно, не решая (4.230) непосредственно, а  воспользовавшись следующим свойством решения (4.327) задачи Коши на прямой:

                         (4.328)

если   - нечетная функция. Если же   - четная функция, то

               (4.329)

Таким образом, можно получить требуемое решение задачи (4.327), если соответствующее начальное условие продолжить нечётным образом в область , то есть положить

                  

Действительно, . Тогда, в силу линейности задачи,   есть разность решений (4.322),

                   (4.330)

Решение краевой задачи I рода на полупрямой имеет вид  

      (4.331)

Аналогично можно рассмотреть задачу на полупрямой с граничным условием второго рода. Функция Грина в этом случае есть сумма функций (4.325),

       (4.332)

Если теплота распространяется в полупространстве, но задача не одномерная, то её функция Грина есть произведение соответствующих одномерных функций Грина.