УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

Волновая функция частицы массой , движущейся в силовом поле с потенциалом , удовлетворяет уравнению Шрёдингера

(4.272)

где - гамильтониан частицы. В одномерном случае , и уравнение Шрёдингера принимает вид

(4.273)

Сравнивая его с уравнением общего вида (2.51), находим коэффициенты

Следовательно, уравнение Шрёдингера относится к параболическому типу. К нему можно применить общую теорию метода разделения переменных. Волновую функцию ищем в виде

После подстановки ее в (4.292) получаем

Временная часть волновой функции равна . Координатную часть находим из задачи Штурма - Лиувилля

или (4.274)

в форме стационарного уравнения Шрёдингера. Постоянная разделения Е есть энергия стационарного состояния . Граничные условия формулируются для конкретной задачи. В частности, волновая функция частицы, совершающей финитное движение, должна стремиться к нулю в бесконечно удаленных точках и быть квадратично интегрируемой. При движении в потенциальной яме в точках классического поворота должны выполняться условия сопряжения, одно из которых заключается в непрерывности волновой функции, а другое устанавливает связь между её производными по обе стороны от этих точек.

Точные аналитические решения уравнения (4.274) могут быть получены для ограниченного числа потенциалов . Это

- бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма шириной d;

- потенциал жесткого ротатора;

- параболический потенциал ;

- кулоновский потенциал ;

- потенциал однородного электростатического поля , где E - напряженность поля;

- ряд других потенциалов.

Первый случай с математической точки зрения тривиален. Собственные функции суть тригонометрические функции , а собственные значения даются формулой

Собственные функции жесткого ротатора - сферические функции, изученные ранее, .

Решения остальных задач выражаются через новые специальные функции. Эти новые специальные функции могут быть изучены в рамках единого подхода. Для этого приведем соответствующие уравнения к безразмерному виду.

Уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора имеет вид

Перейдем к безразмерной переменной , где а - пока неизвестный параметр с размерностью длины. Получим

или

Выберем а таким, чтобы , то есть . Тогда . Получаем безразмерное уравнение гармонического осциллятора

(4.275)

Преобразуем уравнение Шрёдингера для атома водорода

(4.276)

Оператор Лапласа в сферической системе координат имеет

где

Поэтому (4.276) перепишем в виде

Подставим в факторизованную волновую функцию . После разделения переменных получаем уравнение для сферических функций

и уравнение для радиальной волновой функции

Постоянная разделения равна , где l - целое неотрицательное число. Переходим к безразмерной переменной :

Потребовав, чтобы , найдем , где - боровский радиус. Тогда , . Получаем безразмерное уравнение для радиальной волновой функции

Переходом к новой искомой функции приведем его к виду

(4.277)

Рассмотрим уравнение Шрёдингера для электрона в однородном электрическом поле F

(4.278)

Перейдем к безразмерной переменной , где а - неизвестный пока характерный размер задачи,

(4.278)

и - две характерные энергии. Первая характеризует движение частицы в яме размером а, вторая - энергию электрического поля в этом масштабе. Их отношение есть безразмерный параметр задачи