4.1.5.3              РАЗЛИЧНЫЕ ПОЛИНОМЫ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТИПА

                           

Из уравнения (4.294') можно найти функцию   при различных степенях полинома .

1.   -  полином нулевой степени.

                        

                        

Так как  ,    то 

2.    -  полином первой степени.

                          

                          

где                          .

3.    -  полином второй степени.

         

где       ,   

В реальных физических задачах  встречаются следующие функции  и , которые можно назвать каноническими:

       1.         ,             

       2.         ,                    

       3.         ,                      

Они приводят к различным   полиномам гипергеометрического типа.

В первом случае   , откуда получаем собственные значения

           

Уравнение ГГ типа в этом случае имеет вид

                 (4.299)

Его решения называются полиномами Якоби и обозначаются . Нормировочную постоянную принято записывать в виде  . Частные случаи полиномов Якоби:

1.1  ,      ,           ,  

                  

                     -  полиномы Лежандра.

1.2.1 ,    ,    ,     

                    

                    

      ,      -   полиномы  Чебышева 2 - го рода.

1.2.2 

                    

                    

       ,        -  полиномы Чебышева 1-го рода.

1.3  ,         

                  

                    

                    

 -  полиномы Гегенбауэра или ультрасферические полиномы.

Во втором случае ,

                   ,            

Имеем полиномы Лагерра . Явный вид их дается формулой Родрига с нормировочной постоянной ,

                    

В третьем случае      ,       

 

                                

Имеем              полиномы Эрмита,  

,  

Изложенный подход к полиномам гипергеометрического типа  позволяет подробно изучить все их свойства: ортогональность, рекуррентные соотношения, асимптотики и др. Применим его к решению задач квантовой механики, то есть для нахождения волновых функций и энергетического спектра простых систем.