ВОЛНЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ

                  

Волноводом называется направляющая структура для передачи энергии  электромагнитного поля. Широкое распространение получили металлические волноводы - трубы прямоугольного или кругового сечения и диэлектрические  волноводы - многослойные структуры из диэлектриков с различными показателями преломления. Первые применяются в  СВЧ - диапазоне, вторые - в оптическом диапазоне. Поля распространяющихся в волноводах волн описываются уравнениями Гельмгольца. Покажем это для прямоугольного металлического волновода, сечение которого показано на рис. 4.20.

Исходим из системы уравнений Максвелла. Внутри волновода заряды и токи отсутствуют, поэтому  для определения полей достаточно двух уравнений Максвелла и материальных  уравнений

                                                                        

                                                                      

                                                                                                                                                           

Поле волны гармонически зависит от времени t и координаты z,

                                    

                      

Здесь  - частота волны,  k  -  ее продольное волновое число или постоянная распространения, определяющее длину волны согласно соотношению

                                           

Распишем уравнения Максвелла покомпонентно с учетом  (4.259):

                                                                               

                                                                           

                                                                                                                             

Исключим из  уравнений  (4.260) и   и :

   

     

                    

                    

Из последних уравнений находим  и ,

                                           

                                            

а из уравнений  (4.261), после подстановки в них (4.263),   и :

          

           

Через   обозначена поперечная постоянная распространения. Поперечные  - компоненты поля, таким образом,  однозначно выражены через  продольные z -компоненты.

Поток энергии волны вдоль оси  z  в общем случае также определяется продольными компонентами   и  поля,

                  

Этот общий случай можно представить в виде суперпозиции двух более простых волн.

У одной из них, называемой поперечно-магнитной, или TM - волной,  (Рис. 4.21а).

              

                          Рис. 4.21 ТЕ – и  ТМ – волны в волноводе

 

Все компоненты  ТМ - волны выражаются через . Уравнение для  получим,  подставив   и  в  (4.262):

                    

                    

                                                    (4.264)

На границе проводника должны равняться нулю тангенциальные компоненты  электрического поля волны. Для ТМ - волны тангенциальной является компонента . Таким образом, имеем граничные условия первого рода

                                           (4.265)

У другой волны, называемой поперечно-электрической, или ТЕ - волной,  (Рис. 4.21б). Все ее компоненты выражаются через . Уравнение для  получим, подставиви   в  :

                                                  (4.266)

Для ТЕ - волны тангенциальными компонентами электрического поля  являются  на гранях  (0,y)  и  (a,y)  и  на гранях (x,0)  и  (x,b). Они связаны с  соотношениями

                  

Поэтому граничное условие   является для ТЕ - волны условием второго рода,                                                 (4.267)

Найдем  поле волноводной ТЕ - волны. Решение уравнения (4.266) ищем в виде

                              

После подстановки в (4.266) получаем

                                

Разделяем переменные:

                   ,    или      

                              

          

         или      

                                

 

Таким образом,              (4.268)

                                                  (4.269)

                                            (4.270)

Волна, характеризуемая конкретным значением , называется волноводной модой. Компоненты ТЕ -  моды  имеют вид

     (4.271)

 

 

 

Из (4.271) следует важный вывод: если частота волны  такова, что               или      ,

то такая волна не может распространяться в волноводе. Она экспоненциально затухает на расстоянии порядка

                   ,

где  -  длина волны в безграничном пространстве. В наличии критической частоты , а также продольной компоненты электромагнитного поля  или  состоит главное отличие волноводных мод от обычных электромагнитных волн.

Задание.  Найти самостоятельно волноводные ТМ - моды, определить их критическую частоту.