ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА

 

При    (4.166) превращается в уравнение Лежандра

                               (4.167)

Решения его зависят от одного индекса n  и называются полиномами Лежандра. Их явный вид и свойства легко устанавливаются с помощью производящей функции. По определению, производящей для полиномов  называется функция от двух переменных , коэффициенты разложения которой в степенной ряд по переменной  t  как раз и являются полиномами от переменной y,

                                                          (4.168)

Показано, что для полиномов Лежандра производящей является функция

                   ,                     (4.169)

Получим с ее помощью  их явный вид. Очевидно, что .  Для остальных полиномов могут быть установлены рекуррентные соотношения. Продифференцируем  по  t   (4.168) с учетом (4.169).

                    

              

        

Преобразуем суммы в последнем соотношении следующим образом:

                    ;

                 ;

                    

                                     

         

         

После их сложения получаем следующий равный нулю степенной ряд:

Равенство ряда нулю возможно, если равны нулю коэффициенты при всех степенях  t  одновременно:

            

Таким образом,

                                     

Существуют также рекуррентные соотношения между полиномами  и их производными. Для их вывода продифференцируем (4.168) по y:

            

Откуда             

Снова преобразуем суммы к одинаковым степеням  t:

                    

       

                  

        

После сложения получим

     

Так как , а ,  то

    ,                       (4.171)

Продифференцируем  теперь  последнее соотношение :

                  (4.172)

Исключим из соотношения (4.171) , для чего умножим его на  и сложим с (4.172), умноженным на :

    

                                                     (4.173)

Подставим  (4.173) в (4.172)  и  исключим :

Получим                                                 (4.174)

Если аналогично исключить из (4.172) , то получим  еще одно соотношение                                       (4.175)

 Его можно также записать в виде

                                                             

Подстановка  в (4.174) дает

                                 

или                                                 (4.176)

Продифференцируем (4.176)  по  y  и заменим в полученном соотношении  с помощью . В результате получим

                                           (4.177)

Таким образом, полиномы , полученные из производящей функции  (4.169), удовлетворяют уравнению Лежандра