УРАВНЕНИЯ  ПАРАБОЛИЧЕСКОГО  ТИПА

 

Для уравнений параболического типа

                                                             (3.12)             

или                               

задача ставится аналогично постановке для уравнения гиперболического типа. Отличия состоят в следующем.

1.    Так как (3.12) содержит только первую производную по времени, то начальные условия задаются только для искомой функции,

                                     

 Первая, вторая и третья краевые задачи ставятся совершенно аналогично (3.3), (3.4), (3.5).  Различаются только физические интерпретации граничных условий. В первой краевой задаче на границе области определения задаётся температура или концентрация диффундирующего вещества,

                          

Во второй краевой задаче на границе задается поток тепла,  

                    

или диффузионный поток,

                   

Граничные условия третьего рода описывают конвективный теплообмен на границе,

                        

либо поверхностную рекомбинацию носителей заряда. Параметр  называется в первом случае - постоянной конвективного теплообмена, во втором – скоростью поверхностной рекомбинации.  

Как и для гиперболических уравнений, можно ставить задачу Коши, пренебрегая влиянием границ в начальные моменты процесса, либо задачу без начальных условий при  . Последнее  характерно для периодического граничного режима.

2. Для уравнений параболического типа характерна постановка краевых задач с нелинейными граничными условиями. Например, в задачах теплопроводности теплообмен на границе по закону Стефана - Больцмана описывается соотношением

                                      

где   - постоянная Стефана.          Левая часть есть диффузионный поток тепла на границе, правая – разность лучистых потоков из внешней среды с температурой  в объем и из объема во внешнюю среду.

Приведем в качестве примера формулировку первой краевой задачи:

найти функцию , определенную в непрерывной замкнутой области , удовлетворяющую уравнению (3.12) или (3.12')  в открытой области ,  начальному условию  и граничным условиям    , 

причем функции   должны удовлетворять условиям сопряжения   .

Редукция общей краевой задачи производится так же, как и для гиперболических уравнений.