УРАВНЕНИЯ  С  ПОСТОЯННЫМИ  КОЭФФИЦИЕНТАМИ

 

При произвольной зависимости коэффициентов уравнения (2.1), а, следовательно, и уравнений (2.11),(2.12),(2.13) от координат и времени их решение может быть получено только численными методами. Часто, однако, эти коэффициенты можно считать постоянными в области определения уравнения (2.1). В этом случае уравнения характеристик суть уравнения прямых           

                    

                    

C помощью преобразования (2.4) уравнение (2.3) приводится к каноническим формам с постоянными коэффициентами:

-   для эллиптического уравнения

                             (2.14)

-   для гиперболического уравнения

                                     (2.15)

или                                           

-   для параболического уравнения

                                     (2.16)

Для решения уравнений (2.14) - (2.16) разработаны мощные аналитические методы, изучению которых и будет посвящен наш курс. Уравнения (2.14) - (2.16) допускают дальнейшее упрощение с помощью подстановки

                                         (2.17)

Для производных имеем:

      ,         

                    

                    

                    

После подстановки в (2.14) и сокращения на  получим:

                  

        

Коэффициенты при  и    подбором постоянных    и    могут быть обращены в нуль. Уравнение эллиптического типа   после этого принимает вид:

                               (2.18)

где                  .  

Аналогично преобразу­ется  уравнение (2.15):

      

         

                              (2.19)

После подстановки  производных в уравнение  (2.16) получаем:

   Выбором коэффициентов   и    можно обратить в нуль коэффициенты при  и  :        

       

 Следовательно, уравнение параболического типа запишется в виде

                           (2.20)

Изложенный метод классификации дифференциальных уравнений в частных производных позволяет привести к каноническому виду любое уравнение, что облегчает его решение. Выведенные в главе 1 уравнения, как легко видеть, относятся к типу (2.18), (2.19) или (2.20).