УРАВНЕНИЯ  ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО  ТИПА

 

Для уравнений эллиптического типа имеем два комплексно сопряженных общих интеграла   и . Если положить ,  , то по лемме  . Получим комплексную форму гиперболического уравнения

                     

Перейдем в нем к вещественным переменным  ,:

                    

                    

 

В результате получим вещественную каноническую форму уравнения эллиптического типа

                         

или                                   

Суммируем полученные результаты следующим образом:

-   каноническая форма гиперболического уравнения двух переменных содержит  две  старших производных по обеим переменным с разными знаками;

-   каноническая форма параболического уравнения двух переменных содержит старшую производную по одной переменной;

-    каноническая форма эллиптического уравнения двух переменных содержит  две  старших производных по обеим переменным с одинаковыми знаками.

Обобщая, соответствующие уравнения для  переменных можно классифицировать по вторым производным следующим образом:

-   если коэффициент при одной второй производной противоположен по знаку коэффициентам при остальных вторых производных  -  имеем уравнение гиперболического типа

                                

-   если, по крайней мере, коэффициент при одной второй производной  равен нулю - имеем  уравнение параболического типа

                                   ,               m<n

-   если коэффициенты при всех вторых производных одного знака - имеем уравнение эллиптического типа