1.2.3.      УРАВЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.

                                   

Со времен Ш. Кулона и Х.Эрстеда известно, что в пространстве вокруг электрических зарядов и электрических токов существуют силовые поля. Это означает, что на пробный заряд  действует со стороны заряда q электрическая сила  , а на пробный ток   со стороны тока  действует магнитная сила  . Характеристиками силовых полей и  являются напряженность электрического поля  и  индукция магнитного поля  . Векторы    и    образуют единое электромагнитное поле и удовлетворяют  уравнениям Максвелла, которые в интегральной форме выражают основополагающие законы электромагнетизма и  имеют вид:   

  - обобщенный закон Ампера,

       - закон индукции Фарадея

                      - закон Кулона,

                       - отсутствие магнитных зарядов.

Здесь    -  полный ток, охватываемый замкнутым контуром  l ,  -  вектор электрической индукции, учитывающий поляризационные связанные заряды,  -  вектор напряженности магнитного поля, учитывающий токи намагничивания в среде,  и -  электрическая и магнитная проницаемости вакуума,    и    -   относительные электрическая и магнитная проницаемости.

В дифференциальной форме уравнения Максвелла  имеют вид

                                                                  

                                                                      

                                                                          

                                                                            

Из них можно получить дифференциальные уравнения второго порядка для полей и потенциалов. 

Для вывода уравнения для полей применим операцию  rot   к уравнениям  и ,

                                                     (1.26)

Плотность тока   удобно разделить на ток проводимости  и ток , обусловленный внешней э.д.с.,

                              

Отдельные слагаемые в (1.26) запишутся в виде

 

                                                    (1.27)

                         (1.28)

                              (1.29)

Подставив (1.27) - (1.29)  в  (1.26), получим с учетом

                    

или                                      (130)

                  

 Аналогично  получим уравнение для  поля  ,

                   (1.31)

 При заданных функциях    и   уравнения  (1.29)  и (1.30) имеют одинаковую форму

                                         

В них первые производные полей  по времени происходят от токов проводимости, а вторые производные -  от токов смещения. Если ,  то токи проводимости отсутствуют. Уравнение (1.29) в этом случае принимает вид

                                                        (1.32)

 Если же проводимость среды велика, то можно пренебречь токами смещения. Для в этом случае   имеем уравнение

                                                  (1.33)

Уравнение (1.33)  весьма похоже на уравнение теплопроводности (1.9').

Из двух векторных уравнений (1.29) и (1.30) находим шесть скалярных функций - компоненты полей  и . Можно получить одно векторное и одно скалярное уравнение для потенциалов полей. Для этого достаточно заметить, что уравнение  удовлетворяется тождественно, если положить

                                                                           (1.34)

Вектор  называется векторным потенциалом электромагнитного поля. Подставив (1.34) в , получим

                                      

Это уравнение будет удовлетворено тождественно, если положить

                                                                    (1.35)

где     -   скалярный потенциал электромагнитного поля. Уравнения для потенциалов получим, подставив (1.34)  и  (1.35)  в   и  . Из  получаем уравнение для :

 

                  

 

                          

                                

 Из находим уравнение для :

                  

                                                             

 Уравнения   и    образуют  систему двух связанных уравнений для   и .  Их можно превратить в независимые уравнения, если воспользоваться свободой в выборе потенциалов. Из определений (1.34) и (1.35) следует, что поля и   не изменятся, если вместо   и   подставить функции

                               ,                   (1.37)

где  -  произвольная функция, так как

                    

 

  и   в  (1.36') можно выбрать так, чтобы

                                                  (1.38)

Это - так называемая калибровка Лоренца. Тогда   превращается в

                                    

а  после подстановки в  него  из (1.38), в

                                          

Таким образом, получили два независимых уравнения для потенциалов. В непроводящей среде    уравнения (1.39) упрощаются: