1.2.2. «ТЕЛЕГРАФНЫЕ » УРАВНЕНИЯ.          

 

«Телеграфные» уравнения описывают распространение электрического сигнала по длинному проводнику, например, по проводу воздушной линии связи (рис.2).

 

     

 

                   Рис.2.  К выводу телеграфных уравнений

 

Такой проводник характеризуется распределенными параметрами - емкостью , индуктивностью , сопротивлением  и утечкой  на единицу длины.

Применим  закон Ома к участку  провода, по которому протекает ток .  Падение напряжения  должно равняться сумме всех э.д.с., действующих на участке. Таких э.д.с. две  -  разность потенциалов   и  э.д.с.  индукции . Таким образом, . После сокращения на  получаем уравнение

                                                        

Рассмотрим баланс заряда в элементе .Слева в него за время втекает заряд , справа  -  вытекает заря. Разность втекающего и вытекающего зарядов частично идет на зарядку емкости элемента провода, а частично - теряется вследствие несовершенства изоляции. Первая часть равна

       ,

вторая есть . Имеем уравнение баланса                     

или                  ,

из которого после сокращения на  получаем второе уравнение длинной линии                            

 и образуют систему телеграфных уравнений. Продифференцируем    по , а   по :           

                          

                          

Вычтем последнее уравнение, умноженное на L, из предыдущего:

                     

Производную  заменим с помощью :

          

или                             (1.24)

Получили волновое уравнение длинной линии.