1.2.1 УРАВНЕНИПЕ МАЛЫХ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ

Рассмотрим упругий стержень, лежащий на оси X (рис.1)

       

       Рис.1.  К выводу уравнения продольных колебаний стержня

 

Пусть на него в точке    в момент времени   действует внешняя сила  в пересчёте на единицу длины. Под ее воздействием элементы стержня будут совершать некоторые движения, задаваемые смещением . Запишем уравнение движения для  элемента стержня конечной длины .  Рассмотрим бесконечно малый элемент стержня . Левый его конец в момент времени  займет положение , а правый конец - положение  . Длина элемента в момент    

                  

Относительное удлинение элемента равно

                                          

По закону Гука, напряжение T пропорционально относительной деформации. Таким образом, на левый конец элемента   действует  упругая сила (напряжение)

                               ,

а на правый - упругая сила (напряжение)

                               ,

где  E - модуль Юнга. Суммарно на элемент  действует сила

                               (1.17)

По второму закону Ньютона, изменение импульса элемента   за время   равно импульсу силы  f

                                                                    (1.18)

С другой стороны, так как импульс элемента  есть

                   ,

то

 (1.19)

где   – плотность стержня в точке  . Подставив (1.17) и (1.19) в (1.18), получим

                  

                        (1.20)

Если предположить существование непрерывных  вторых производных у функции , то (1.20) можно записать в виде

     ,

откуда, применяя теорему о среднем, находим

      

,  . Устремляя   и к нулю, получаем уравнение

                     (1.21)

 

или, с учетом закона Гука,

                                     (1.22)

Если стержень однороден, то есть   и   , то (1.22)  принимает вид

,                                (1.22')

,              

Так как размерность , размерность,то размерность. Следовательно, параметр v имеет смысл характерной скорости. Это, как мы далее увидим, есть скорость  упругих продольных волн в стержне.