Решения задач.

Задача №2 -1

Привести к каноническому виду дифференциальное уравнение

(1)

Решение

Сравнивая (1) с уравнением общего вида

находим: , , ,

Следовательно, уравнение (1) относится к гиперболическому типу. Характеристическое уравнение имеет вид

(2)

Из (2) находим общие интегралы

Переходим к переменным

Вычисляем производные

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Подставляем (3) – (7) в (1):

или (8)

Получили первую каноническую форму уравнения гиперболического типа. Переходим к переменным .

Получаем вторую каноническую форму уравнения гиперболического типа

(9)

Задача №4 -1

В однородном стержне длиной L создано начальное распределение температуры , зависящее только от координаты x, после чего стержень был теплоизолирован и предоставлен самому себе. Найти распределение температуры при .Теплофизические параметры стержня считать постоянными.

Решение.

Формулируем задачу в размерных величинах:

(1)

Упростим задачу, перейдя к безразмерным переменным:

Здесь – пока неопределённый характерный временной масштаб задачи, L - естественный пространственный масштаб задачи – длина стержня. Получаем:

Из первого уравнения видно, что в качестве временнόго масштаба удобно взять . Тогда задача принимает вид

(2)

Решение задачи (2) с однородными граничными условиями ищем в соответствии с теорией метода разделения переменных в виде

(3)

Собственные функции и собственные значения находим из задачи Штурма – Лиувилля, оператор которой имеет в данном случае вид , а весовая функция :

Стандартным образом получаем:

Общее решение принимает вид

(4)

Постоянные находим из начального условия

Получаем решение задачи в виде

(5)

Вычислим интеграл

Таким образом, квадрат нормы собственной функции равен

(6)

Окончательно получаем из (5) решение задачи:

(7)

Задача №4 – 2

Найти распределение температуры в стержне длиной L с адиабатической боковой поверхностью, контактирующем через торцы со средой с постоянной температурой . Начальная температура стержня . Теплофизические параметры постоянны.

Решение.

В размерных величинах задача формулируется следующим образом:

(1)

Переходим к безразмерным переменным :

(2)

Избавляемся от неоднородности в граничных условиях, вводя новую искомую функцию ,

(3)

В соответствии с теорией метода разделения переменных решение задачи (3) ищем в виде

(4)

Собственные функции и собственные значения находим из задачи Штурма - Лиувилля

Общее решение принимает вид

(4)

Постоянные находим из начального условия

Квадрат нормы собственной функции найдём аналогично предыдущей задаче:

Таким образом, получаем следующее распределение температуры в охлаждающемся стержне,

(5)

Проверим выполнение граничных и начальных условий. Первые выполняются автоматически, так как , целых k и n . Выполнимость начальных условий следует из условия полноты системы функций ,

и разложения единицы в ряд Фурье по синусам:

Таким образом, (6)

Из (6) с учётом (6) получаем

Задача № 4 - 3

Стержень длиной L с теплоизолированной боковой поверхностью охлаждается через торцы с постоянными скоростями теплоотвода с единицы поверхности W₁ и W₂. Найти распределение температуры в стержне, если его начальная температура равна T₀(x).

Решение.

Формулируем задачу в размерных величинах (см. рис.):

(1)

(2)

(3)

(4)

Переходим к безразмерным переменным .

Граничные условия задачи , во-первых, второго рода, а во вторых, неоднородны. Переформулируем её так, чтобы можно было избавиться от неоднородности. Продифференцируем уравнение по :

Видим, что производная также удовлетворяет уравнению теплопроводности. Поэтому перейдем к новой искомой функции,

(5)

для которой получаем задачу с неоднородными граничными условиями первого рода

(6)

Произведём редукцию задачи (6), то есть будем искать её решение в виде суммы двух функций

(7)

одна из которых, , зависит только от пространственной координаты. Подставим (7) в (6) - :

Задача (6) будет удовлетворена, если функции и будут решениями следующих задач:

(8) (9)

Решение задачи (8) находим элементарно,

(10)

Решение задачи (11) ищем методом разделения переменных:

находим из начального условия

(11)

Температуру находим по формулам (5), (7), (10), (12),

(13)

где - произвольная (и пока неизвестная) функция времени. Сначала находим :

(14)

Неизвестную функцию находим из интегрального соотношения, выражающего баланс энергии в стержне. Уменьшение тепловой энергии стержня за время от 0 до t , где S - площадь торца, равно её оттоку через торцы ,

Последнее условие запишем в безразмерных переменных

(15)

Подставим (13) в (15):

(16)

Первый интеграл в (16) легко вычисляется:

Тогда

(17)

Формальное решение задачи получено. Проверим выполнение граничных и начальных условий. Первые выполняются с очевидностью:

Из (17) получаем начальное значение температуры:

Разлагая и в ряд по косинусам,

(18)

(19)

находим, что обе скобки равны нулю. Оставшиеся слагаемые перепишем с учётом того, что функции образуют полную систему с квадратом нормы

Тогда

Таким образом, формула (17) даёт правильное решение задачи. Перепишем его с учётом разложений (18) и (19):

(20)

Первое слагаемое описывает выравнивание температуры в адиабатическом стержне (задача 1), остальные – влияние теплоотвода через торцы. Из (20) следует, что при . Этот физически абсурдный результат получается из-за незаконной экстраполяции граничных условий на бесконечный временнόй интервал. Любой теплосток постоянной мощности сам находится при некоторой температуре . Стержень не может быть охлаждён до температуры, меньше . Как только температура на границе сравняется с температурой теплостока, граничные условия второго рода перестанут быть справедливыми. Начиная с момента времени охлаждение будет контролироваться граничными условиями первого рода, и решение (17) становится несправедливым.

Задача № 4 – 4

Найти распределение температуры в стержне длиной L с адиабатически изолированной боковой поверхностью, контактирующего левым концом со средой с постоянной температурой , а правым торцом – с постоянным теплостоком мощностью . Начальная температура стержня , все теплофизические параметры постоянны.

Решение.

В размерных переменных задача формулируется так:

(1)

Переходим к безразмерным переменны , , , и разностной температуре .

Производим редукцию задачи (2):

(3)

Функции и есть решения задач

(4) (5)

Решение задачи (4) находится тривиально:

(6)

Задачу (5) решаем по общему алгоритму метода разделения переменных:

(7)

(10)

(11)

(12)

Постоянные находим из начального условия

Квадрат нормы равен

;

(13)

(14)

Получаем распределение температуры в виде

(15)

Проверим выполнение начальных условий.

Разложим переменную и константу в ряд по синусам:

Таким образом,

Задача №4 – 5(М.М. Смирнов)

Растворённое вещество с начальной концентрацией диффундирует из раствора, заключённого между плоскостями и , в растворитель, ограниченный плоскостями и . Определить процесс выравнивания концентрации, предполагая, что границы и непроницаемы для вещества.

Решение.

Геометрия задачи показана на рис. 3. Формулируем задачу математически:

(1)

Рис. 3.

Переходим к безразмерным переменным

(1)

В соответствии с общей теорией метода разделения переменных решение задачи (1) ищем в виде

есть собственные функции задачи Штурма – Лиувилля

Её общее решение имеет вид

Из граничных условий находим постоянные A и B:

так как граничное условие должно выполняться .

(2)

Постоянные находим из начального условия:

При имеем неопределённость , поэтому выделим это слагаемое и раскроем неопределённость:

(3)

В размерных величинах решение имеет вид

(4)

Задача №4 – 5

Решить задачу о движении слоя вязкой жидкости между двумя параллельными плоскостями одна из которых в момент начинает двигаться параллельно другой с заданной постоянной скоростью . Действием силы тяжести пренебречь.

Решение.

Задача сводится к нахождению поля скоростей в жидкости между дном резервуара и движущейся по поверхности бесконечной плоскостью (рис. 2). Экспериментальный факт состоит в том, что всегда скорость частиц жидкости на поверхности твёрдого тела относительно последнего равна нулю. При движении плоскость увлекает за собой прилегающий тонкий слой жидкости, поэтому скорость частиц на высоте равна , а на дне () она равна нулю. Слои жидкости между дном поверхностью увлекаются соседними слоями вследствие существования вязкости, или внутреннего трения.

Рис. 2. Геометрия задачи 4 - 5

На единицу площади выделенного слоя параллельно скорости действует сила F, пропорциональная градиенту скорости в перпендикулярном ей направлении,

При произвольном направлении скорости

Здесь - динамическая вязкость жидкости. На выделенный объём толщиной действуют две силы,

Их равнодействующая равна

Эту силу, согласно второму закону Ньютона, следует приравнять изменению импульса жидкости в объёме ,

В результате получаем уравнение

Это уравнение гиперболического типа, по форме совпадающее с уравнением диффузии. Оно описывает эволюцию профиля скорости по глубине. есть коэффициент диффузии скорости. Так как размерность вязкости , то имеет размерность , как и должно быть у коэффициента диффузии.

Математическая формулировка задачи :

(1)

Перейдём к безразмерным величинам

, , , :

(2)

Производим редукцию задачи (2):

(3)

(4) (5)

Из (4) находим (6)

Задачу (5) решаем стандартно методом разделения переменных:

Получаем безразмерное решение исходной задачи

(7)

В размерных величинах оно имеет вид

(8)

Если воспользоваться разложением в ряд Фурье первого слагаемого в скобках

то решение примет вид (8)

При - скорость линейно зависит от y. При

Найдём силу трения слоёв воды на глубине y:

Трение пластины о поверхность воды равно

(9)

В начальный момент сила трения бесконечна,

Имеем парадокс – в жидкости нельзя сдвинуться с места ввиду бесконечности сопротивления. Мощность , требуемая для начала движения, также бесконечна. Причина парадокс - в предположении о мгновенности старта. В следующей задаче рассмотрена более реалистичная модель.

Задача №4 – 6

Решить задачу о движении слоя вязкой жидкости между двумя параллельными плоскостями одна из которых в момент начинает двигаться параллельно другой со скоростью, изменяющейся по заданному закону

Действием силы тяжести пренебречь.

Решение.

График зависимости скорости от времени показан на рис. 2.

Рис. 2

Поле скоростей в этом случае есть решение задачи

(1)

Это задача о распространении краевого режима. Её решение выражается через решение предыдущей задачи:

так как

(2)

Подставим в (2) решение (7) задачи 4 – 5

Интегралы в (2) равны

(3)

При оба слагаемых в (3) стремятся к нулю, поэтому начальные условия выполняются. Сила трения в этом случае равна

(4)

Сила трения плоскости о поверхность жидкости

, следовательно, парадокс отсутствует.

Задача №4 – 7

Найти распределение примеси, диффундирующей в пластину толщиной L через поверхность x = 0, если её начальная концентрация N(x,0) = 0, на поверхности = 0 концентрация изменяется по закону , а поверхность x = L непроницаема для примеси.

Решение.

Геометрия задачи показана на рисунке.

Её математическая формулировка:

(1)

В соответствии с п.1 метода Дюамеля ищем решение задачи с неоднородными, но постоянными граничными условиями

(2)

Произведём редукцию задачи.

Для и получаем две задачи:

Решение первой из них тривиально:

(3)

Решение второй ищем методом разделения переменных:

(4)

(5)

(6)

Коэффициенты находим из начального условия:

(7)

Умножаем (7) на и интегрируем по x от 0 до L:

Интеграл в правой части вычисляется немедленно:

Интеграл в левой части равен

Согласно п.4 метода Дюамеля находим искомое решение

Второе слагаемое равно нулю, так как сума есть разложение -1 в ряд Фурье. Вычислим интеграл в первом слагаемом:

Таким образом,

Формальное решение получено. Проверим выполнение краевых условий. Начальным условиям решение (8) удовлетворяет, так как равна нулю фигурная скобка. Граничные условия удовлетворяются вследствие равенства нулю синуса. При получаем известный результат, соответствующий постоянной концентрации на левой границе,

В решение (8) удобно ввести безразмерное время и параметр , где - период изменения граничной концентрации,