4.2.3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА НА
ПОЛУПРЯМОЙ
Многие
физические объекты нагреваются или охлаждаются через плоскую поверхность,
которую можно считать бесконечной. В этом случае температура зависит от одной
координаты. Математическая задача по её нахождению ставится следующим образом: найти
функцию ,
удовлетворяющую при уравнению
теплопроводности
(4.325)
начальному условию и
граничному условию при .
Рассмотрим случай граничного условия
первого рода . В
соответствии с общей идеей метода функций Грина решение задачи представляем в
виде
(4.226)
Функция Грина есть решение задачи
(4.327)
Найти её можно, не решая (4.230)
непосредственно, а воспользовавшись
следующим свойством решения (4.327) задачи Коши на прямой:
(4.328)
если - нечетная функция. Если же - четная
функция, то
(4.329)
Таким образом,
можно получить требуемое решение задачи (4.327), если соответствующее начальное
условие продолжить нечётным образом в область ,
то есть положить
Действительно, .
Тогда, в силу линейности задачи, есть разность
решений (4.322),
(4.330)
Решение краевой задачи I рода на полупрямой имеет вид
(4.331)
Аналогично можно
рассмотреть задачу на полупрямой с граничным условием второго рода. Функция
Грина в этом случае есть сумма функций (4.325),
(4.332)
Если теплота
распространяется в полупространстве, но задача не одномерная, то её функция
Грина есть произведение соответствующих одномерных функций Грина.