МЕТОД  РАЗДЕЛЕНИЯ  ПЕРЕМЕННЫХ

4.1.ОБЩАЯ  СХЕМА  МЕТОДА.  ЗАДАЧА  ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ

 

Уравнения, рассмотренные в гл.1, можно записать в виде

                                                  (4.1)

где    -   линейный дифференциальный оператор,  , и    -  заданные непрерывные функции  радиус-вектора. В одномерном случае

 ,

Верхняя строка в левой части (4.1) соответствует параболическому, нижняя - гиперболическому уравнению. Для уравнений эллиптического типа временные производные равны нулю.  Рассмотрим  сначала однородные временные уравнения

                                                               (4.2)

Основополагающая идея метода разделения переменных применительно к уравнению (4.2) состоит в том, что сначала ищется  его частное решение, удовлетворяющее только граничным условиям и представимое в виде

                                                             (4.3)

Однородные граничные условия запишем в виде 

                               ,                                   (4.4)

пригодном для краевых задач любого рода. 

После подстановки (4.3) в (4.2)  в силу линейности  оператора получаем                              

                                

Разделим обе части последнего уравнения на ,

                            

Cлева получили функцию, зависящую от t, справа - функцию от . Равенство их возможно, только если обе они равны  одной и той же постоянной разделения,

                                

                              

Получаем два независимых уравнения

                                                                       (4.5)

                                                         (4.6)

Решение временного уравнения  (4.5) имеет вид

                                                                      (4.7)

для уравнения параболического типа  и

                                          (4.8)

для уравнения гиперболического типа, где  C, A, B  -  не определенные пока, произвольные постоянные.

Пространственное уравнение (4.6) совместно с граничным условием (4.4) образуют  задачу Штурма - Лиувилля. На ее изучение математиками  были затрачены огромные усилия. Результаты их могут быть суммированы в виде следующих утверждений:

1.  Решения задачи Штурма - Лиувилля существуют не при любых, а только при некоторых значениях  параметра . Эти значения называются собственными значениями, а решения, им соответствующие -  собственными функциями.

2. Существует счетное множество собственных значений , которым соответствуют  нетривиальные решения задачи Штурма - Лиувилля  -  собственные функции .

3. При   все собственные значения положительны, .

4. Собственные функции  и при    ортогональны  между собой с весом  в области определения V, т.е.

                      при        (4.9)

5. Теорема разложимости В.А.Стеклова:

Произвольная функция , дважды непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая граничным условиям, разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по собственным функциям :

                                                            (4.10)

где                                    (4.11)

а   -  квадрат нормы функции   

                                 -                     (4.12)

6. Система собственных функций , по которой возможно разложение (4.10), называется полной. Подставив (4.11) в (4.10), получим тождество

                            

на основании которого условие полноты можно записать в виде

                                       (4.10')

где  -  δ - функция Дирака (Приложение 1).

На основании свойства   2.  решения (4.7) и (4.8) остаются ограниченными при любых  , что физически разумно. Запишем их в виде

                                                        

                                 

Следовательно, существует бесчисленное множество частных решений

                                             (4.13)

                  (4.14)

Общее решение задачи, удовлетворяющее также и начальным условиям, ищем в виде

                                           (4.16)

для уравнения параболического типа, и в виде                

                (4.17)

для уравнения гиперболического типа. Коэффициенты  находим из начальных условий с помощью теоремы разложимости. Так как

                                              (4.18)

или                                             (4.19)

                                       (4.20)

то, умножая, левые и правые части  (4.18),  (4.19),  (4.20)  на  и интегрируя по области  определения, находим

                                     (4.21)

                                     (4.22)

                              (4.23)

Тем самым завершаем нахождение решения однородного уравнения параболического или гиперболического типа.

Решение неоднородных временных уравнений находим следующим образом. Считаем, что оно имеет вид  (4.16) или (4.17), но с неизвестными  функциями времени   вместо  постоянных ,

                                       (4.16')

            (4.17')

Подставим   в параболическое уравнение (4.1)

                                                            (4.24)

Отдельные слагаемые имеют вид:

                               (4.25)

    

                               (4.26)

Их разность равна неоднородному слагаемому:

      

Умножим последнее уравнение на  и проинтегрируем по всей области определения,

     

Используем соотношения ортогональности (4.9), (4.12):

                                    (4.27)

Получили уравнение для ,

                   ,      (4.28)

решение которого есть

         (4.29)

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения параболического типа

      

 

                                                            (4.30)

представлено в виде суммы общего решения однородного уравнения

                  

и частного решения неоднородного уравнения

 

Коэффициенты первого были найдены ранее (формула (4.21)). Преобразуем его следующим образом:

      

                    

                                                                   (4.31) 

Решение неоднородного уравнения преобразуем с помощью (4.29):

           

                                        (4.32)

В (4.31) и (4.32)  введено обозначение

                      (4.33) 

Представление (4.31), (4.32) будет использовано в следующей главе.

Проделаем аналогичную процедуру для уравнения гиперболического типа.  Подставим  в (4.1). Имеем

      

          

Наложим условие           (4.34) 

Тогда

      

                  

Умножив обе части последнего равенства на  и проинтегрировав по области определения, получим

(4.35)

Получили  систему уравнений (4.34), (4.35) для определения  функций и . Умножив первое из них на , и вычтя из него  второе, умноженное  на ,   получим

                   

Откуда           

         (4.36)

Cложив (4.34), умноженное на , с (4.35), умноженным на , находим

                                

          (4.37)

где   и  -  произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, решение гиперболического уравнения получаем в виде

      

        

       

                                                            (4.38)

Первая сумма есть общее решение однородного уравнения , две последних – частное решение неоднородного уравнения .

Решение однородного уравнения преобразуем с помощью (4.22), (4.23).

 

      

      

      

      

      

                (4.39)

Решение неоднородного уравнения преобразуем с помощью (4.11).

 

      

                                         (4.40)

В последних  равенствах соотношений (4.39) и (4.40) введено обозначение

                         (4.41)

Таким образом, если известны собственные функции и собственные значения задачи Штурма - Лиувилля для оператора соответствующего параболического или гиперболического уравнения, то решения этого уравнения может быть представлено в виде бесконечного ряда по собственным функциям.

Конечно, манипулировать с бесконечными рядами не очень удобно. Однако в реальных задачах практически всегда ряды являются быстросходящимися, поэтому достаточно удержать несколько первых членов, чтобы получить приемлемую точность описания явления или процесса.

В следующих параграфах применим изложенный метод к решению конкретных задач.

Хостинг от uCoz