4.1.5.4.ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЯТОР

 

Безразмерное уравнение гармонического осциллятора (4.276)

                        

можно рассматривать как обобщенное уравнение гипергеометрического типа с , , . Приведем его к форме уравнения гипергеометрического типа заменой .

            

                      

Функцию  подбираем так, чтобы  оказался полиномом степени не выше первой, а

  

                                            (4.300)

Тогда получим уравнение                      (4.301)

(4.300) после подстановки  принимает вид

            

Из соотношений    находим   . Таким образом, . Согласно общей теории, полиномиальное решение существует при

                             (4.302)

так как собственные значения должны быть положительными. Уравнение (4.301) принимает вид

                                                            

Его решения получим  по формуле Родрига. Для этого сперва найдём функцию  из уравнения , которое в данном случае имеет вид

                              

Следовательно,         

 

  (4.303)

Получили не что иное, как полиномы Эрмита. Размерные собственные значения находим из соотношения (4.302),

                  

                                                               (4.304)

Волновая функция  гармонического осциллятора, соответствующая n – му собственному значению, имеет вид

                                          

где . В размерных величинах

      (4.305)