ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ
ПОТЕНЦИАЛ В ЗАМКНУТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
Найдем
распределение потенциала в длинной
металлической коробке прямоугольного сечения, две противоположные боковые грани которой заземлены, а на двух
других задано распределение потенциала (рис. 4.20). Размер коробки по оси Z
намного больше поперечных размеров
a и b, поэтому
внутри коробки вдали от торцов потенциал зависит от двух переменных, .
Рис. 4.20 К расчёту электростатического потенциала
Математическая
формулировка задачи такова:
Ищем
частное решение вида , удовлетворяющее только граничным условиям .
Подставляем его в уравнение и разделяем переменные.
, или
, или
Из
(4.247') следуют граничные условия для :
(4.249)
Удовлетворяющее
им решение уравнения имеет вид
(4.250)
(4.251)
Для заданного решение уравнения имеет вид
(4.252)
Общее
решение уравнения (4.237) записываем в вид суперпозиции
(4.253)
Постоянные
и находим их
граничных условий и :
(4.254')
Умножаем уравнения (4.254) на и интегрируем
по от 0 до а. Получаем
систему уравнений
из которой находим
Таким
образом, решение первой краевой задачи
(4.255)
В
общем виде задача решена.
Пусть
теперь на двух ранее заземленных гранях заданы граничные условия Неймана,
означающие равенство нулю нормальной к поверхности компоненты электрического
поля,
Отсюда
следуют граничные условия для :
,
которым
удовлетворяет функция . Таким образом, общее решение второй краевой задачи имеет вид
Постоянные и находим
аналогично первой краевой задаче. В
результате получаем
(4.256)
При n = 0 , поэтому в первом слагаемом
суммы (4.256) имеем
неопределенность .
Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим решение задачи Неймана в виде
Проверим,
удовлетворяют ли решения (4.255) и граничным условиям при y = 0 и y = b.
Функции образуют полную ортонормированную систему, поэтому
в соответствии с условием полноты
Следовательно, .
Аналогично
можно показать, что