ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ В ЗАМКНУТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

 

Найдем распределение потенциала в длинной  металлической коробке прямоугольного сечения, две противоположные  боковые грани которой заземлены, а на двух других задано распределение потенциала (рис. 4.20). Размер коробки по оси  Z  намного больше поперечных размеров  a  и  b, поэтому  внутри коробки вдали от торцов потенциал зависит от двух переменных, .

    

             Рис. 4.20  К расчёту электростатического потенциала

 

Математическая формулировка задачи такова:

                                             

                                                          

                                                                

                                                                 

Ищем частное решение вида , удовлетворяющее только граничным условиям  . Подставляем его в уравнение   и разделяем переменные.

                              

                                

                    ,   или                  

                       ,  или                 

Из (4.247') следуют граничные условия  для :

                                                                  (4.249)

Удовлетворяющее им решение  уравнения   имеет вид

                                                               (4.250)

                                              (4.251)

Для  заданного  решение уравнения   имеет вид

                                  (4.252)

Общее решение уравнения (4.237) записываем в вид суперпозиции

           (4.253)

Постоянные  и   находим их граничных  условий  и :

                               (4.254')     

 

Умножаем уравнения (4.254) на  и  интегрируем  по  от 0 до  а. Получаем систему уравнений

                         

         

из которой находим

  

 

        

        

Таким образом, решение первой краевой задачи

           

           

                  

                       (4.255)

В общем виде задача решена.         

Пусть теперь на двух ранее заземленных гранях заданы граничные условия Неймана, означающие равенство нулю нормальной к поверхности компоненты электрического поля,

                                

Отсюда следуют граничные условия для  :

                               ,

которым удовлетворяет функция  . Таким образом, общее решение  второй краевой задачи имеет вид

        

Постоянные   и    находим аналогично  первой краевой задаче. В результате получаем

      

                      (4.256)

При  n = 0   , поэтому в первом слагаемом  суммы  (4.256) имеем неопределенность  . Раскрывая ее по правилу  Лопиталя, получим решение задачи Неймана в виде

      

                  

                                   

Проверим, удовлетворяют ли решения  (4.255) и   граничным условиям при  y = 0  и   y = b.

      

Функции    образуют полную ортонормированную систему, поэтому в соответствии с  условием полноты 

                    

Следовательно,  .

Аналогично можно показать, что

                  

                    

                  

 

Хостинг от uCoz