КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ

 

Задачу о поперечных колебаниях круглой мембраны радиуса  целесообразно решать в полярной системе координат. Двумерный оператор Лапласа при этом имеет вид

                              

Будем считать заданными  начальные смещения и начальные скорости мембраны. Рассмотрим первую краевую задачу

                                    (4.217)

                                                           (4.218')

                                                          (4.218'')

                                                                     (4.219)

Разделяем переменные, полагая  .

                    

                    

                              

 

                                       (4.220)

                                             (4.221)

Граничное условие   ,                                        (4.222)

следующее из (4.219), необходимо дополнить, как и в задаче об охлаждающемся цилиндре,   требованиями однозначности

                                                         (4.223)

и ограниченности                  ,                           (4.223')

так как  точка r = 0 является особой точкой уравнения (4.220). 

Разделяем далее переменные  r  и  ,  

                                                            (4.224)

                                  

                

                                

                    

Из (4.223) следует, что        

                                      (4.225)

Для каждого n  имеем уравнение

                    

или                   

Делаем замену переменной . Получаем уравнение Бесселя

                    

Общее решение его .  В соответствии с условием (4.223') полагаем . Из граничного условия для каждого n,

                       

находим значения постоянной разделения ,

                       (4.226)

Таким образом,                              (4.227)

Подставляя (4.226) в (4.220), а (4.227) и (4.225)  -  в (4.224), получим частное решение задачи о колебаниях мембраны. Просуммировав его по n и m, получим общее решение в виде

      (4.228)

Переопределив постоянные, перепишем (4.228) в виде

 

                                                                                        

Постоянные   найдем из начальных условий  с помощью соотношений ортогональности функций , , , 

  

                                                                         

                                                                          

 

Конкретизируем начальные условия. Пусть начальное смещение равно нулю,

                                    

Так как  и  - линейно независимые функции, то (4.229') удовлетворяется только  при 

              

В силу ортогональности  функций Бесселя  заключаем, что

                              

Начальные скорости зададим ударом в точке  мембраны, сообщающим ей суммарный импульс 

                               ,

где  -  плотность мембраны (на единицу площади). Для этого функция  должна иметь вид

                                   (4.230)

Тогда     

   

Будем считать плотность мембраны постоянной по всей площади. Умножим (4.229'') на  и проинтегрируем по   от  0  до . Получим, учтя, что интеграл от произведения  всегда равен нулю:

      

                                   (4.231)

Интегрирование справа выполняется элементарно с помощью дельта-функции,

                    

Интеграл слева вычисляем с помощью преобразования произведения синусов в разность косинусов:

   

        

Если , то , так как оба слагаемые в скобках равны нулю. Если ,  то , так как оба слагаемых равны . Если , второе слагаемое равно нулю, а в первом имеем неопределенность  , раскрывая которую, получим

                             

Таким образом, в сумме по  n  останутся только слагаемые с  n = k:

                 (4.232)

Умножим (4.232) на  и проинтегрируем по r  от 0  до :

                  

                  

Интегрирование справа снова выполняется с помощью  - функции. Интеграл слева отличен от нуля при   и равен квадрату нормы функции Бесселя:

        

Из последнего равенства находим коэффициент ,

                  

                                        (4.233)

где  -  характерная скорость удара, -  частота собственного колебания мембраны.

Аналогично найдем коэффициент .  Умножим  (4.229'')  на  и проинтегрируем по    от  0  до . Так как 

то получим вместо (4.232)

                                                                                        (4.234)

Умножив (4.234)  на   и проинтегрировав  по  от  до , находим

                        (4.235)

Аналогично находим

                                      (2.236)

Таким образом, получаем поле смещений мембраны в виде

         

                      

Хостинг от uCoz