КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ
Задачу о
поперечных колебаниях круглой мембраны радиуса целесообразно решать в
полярной системе координат. Двумерный оператор Лапласа при этом имеет вид
Будем считать заданными начальные смещения и начальные скорости
мембраны. Рассмотрим первую краевую задачу
(4.217)
(4.218')
(4.218'')
(4.219)
Разделяем
переменные, полагая .
(4.220)
(4.221)
Граничное условие , (4.222)
следующее из (4.219), необходимо
дополнить, как и в задаче об охлаждающемся цилиндре, требованиями однозначности
(4.223)
и ограниченности , (4.223')
так как
точка r = 0 является особой
точкой уравнения (4.220).
Разделяем далее переменные r и ,
(4.224)
Из (4.223) следует, что
(4.225)
Для каждого n имеем
уравнение
или
Делаем замену
переменной . Получаем уравнение Бесселя
Общее решение его . В соответствии с
условием (4.223') полагаем . Из граничного условия для каждого n,
находим значения постоянной разделения ,
(4.226)
Таким образом, (4.227)
Подставляя
(4.226) в (4.220), а (4.227) и (4.225)
- в (4.224), получим частное
решение задачи о колебаниях мембраны. Просуммировав его по n
и m, получим общее решение в виде
(4.228)
Переопределив постоянные, перепишем (4.228) в виде
Постоянные найдем из начальных
условий с помощью соотношений
ортогональности функций , , ,
Конкретизируем
начальные условия. Пусть начальное смещение равно нулю,
Так как и - линейно независимые
функции, то (4.229') удовлетворяется только
при
В силу
ортогональности функций Бесселя заключаем, что
Начальные скорости зададим ударом в
точке мембраны, сообщающим
ей суммарный импульс
,
где - плотность мембраны (на единицу площади). Для
этого функция должна иметь вид
(4.230)
Тогда
Будем считать
плотность мембраны постоянной по всей площади. Умножим (4.229'') на и проинтегрируем по от 0
до . Получим, учтя, что интеграл от произведения всегда равен нулю:
(4.231)
Интегрирование справа выполняется
элементарно с помощью дельта-функции,
Интеграл слева вычисляем с помощью
преобразования произведения синусов в разность косинусов:
Если , то , так как оба слагаемые в скобках равны нулю. Если , то , так как оба слагаемых равны .
Если , второе слагаемое равно нулю, а в первом имеем неопределенность ,
раскрывая которую, получим
Таким образом, в сумме по n останутся только слагаемые с n = k:
(4.232)
Умножим (4.232) на и проинтегрируем по r от 0 до :
Интегрирование справа снова выполняется
с помощью - функции. Интеграл слева отличен от нуля при и равен квадрату
нормы функции Бесселя:
Из последнего равенства находим
коэффициент ,
(4.233)
где - характерная скорость удара, - частота собственного
колебания мембраны.
Аналогично
найдем коэффициент . Умножим (4.229'')
на и проинтегрируем
по от 0 до .
Так как
то получим вместо (4.232)
(4.234)
Умножив (4.234) на и проинтегрировав по от до , находим
(4.235)
Аналогично
находим
(2.236)
Таким
образом, получаем поле смещений мембраны в виде