4.1.3.1 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

 

Уравнение собственных поперечных колебаний струны  длиной  L совпадает по форме с уравнением продольных колебаний стержня

                                              (4.207)

Различие состоит в физической интерпретации величин, через которые выражается параметр  v. Для струны , где   -  линейная (на единицу длины) плотность, -  натяжение струны (сила). В закрепленных концах смещения равны нулю, поэтому граничные условия записываем в виде

                                                                         

                                                                         

Начальные условия задают начальные смещения  и  начальные скорости . Пусть начальное отклонение имеет вид (Рис. 4.18). Аналитически оно может быть представлено функцией                                                              (4.209)           

 

 

    

Рис.  4.18  Начальный профиль струны.

 

Начальные скорости точек струны положим равными нулю,

                                                                         (4.210)

Такие начальные условия характерны для щипковых музыкальных инструментов. Перейдем к безразмерным переменным , , . Получим задачу

                                                                       

                                                                        

                                                                                                                                                                                                    

В соответствии с общей схемой метода разделения переменных полагаем

                                  

      

 

Разделяем переменные:

                                

                                                                        (4.211)

                                                                      

                                                         

                    

                  

                    

                    

Таким образом,

 

Постоянные  и   находим из начальных условий   и  .

                    

Следовательно, ,                                                     

                    

Умножаем последнее соотношение на  и  интегрируем по     от 0  до 1. В результате получим

                              

      

         

В размерных переменных профиль струны описывается функцией                        

                                                   (4.213)

Он есть сумма бесконечного числа стоячих волн ,  или гармоник. -  собственная частота   n - ой гармоники, - ее  волновое число, -  длина волны.  Применительно к музыкальным инструментам низшая гармоника   называется основным тоном, а остальные - обертонами.

Вычислим энергию колеблющейся струны. Она равна сумме кинетической K и потенциальной U энергий,

                                       

Кинетическая энергия струны равна сумме энергий отдельных ее элементов

                                

Потенциальная энергия равна работе по переводу струны из состояния   в состояние   

                                     

-  потенциальная энергия элемента струны  . Она равна с обратным знаком работе силы

      

на перемещении ,

     

Третье слагаемое в скобках можно упростить,     

     

Таким образом,

                         (4.214)

Найдем энергию n – й  гармоники, подставив (4.213) в (4.214):

  

 Так как  , то

 

                         (4.216)

 

Из (4.216) следуют важные выводы:

1) Энергия высших гармоник убывает квадратично с порядком  n;

2) Если c выбрать так, чтобы , где  m - целое число, то

Таким образом, можно исключить нежелательные гармоники. Для  человеческого уха неприятны гармоники, начиная с 7 - й. Они вызывают ощущение диссонанса. Для их подавления щипок (или удар молоточком в ударных инструментах) осуществляют между узлами 7 -го и 8-го обертонов вблизи точки закрепления струны, уменьшая тем самым  энергию этих гармоник.