СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ                                                                                                                               

Решение уравнения (4.161') можно теперь записать в виде

                                        (4.189)

Функции  называются    фундаментальными   сферическими функциями  n - го порядка. Их линейные комбинации вида

                                                (4.190)

также являются решениями уравнения  . Они называются сферическими функциями  n - го порядка.

 

Свойства сферических функций

 

1. Фундаментальные сферические функции ортогональны на единичной сфере,

               (4.191)

Доказательство следует из ортогональности присоединенных полиномов Лежандра  и азимутальных экспонент.

 

2. Сферические функции ортогональны на единичной сфере,

                               (4.192)

Это свойство есть следствие свойства 1. и  (4.190).

Часто оказываются удобными, в частности, в квантовой механике, нормированные на единицу фундаментальные сферические функции

      

                             (4.193)

Для них условие нормировки записывается особенно просто:

                                  (4.194)

Явные выражения нескольких нормированных фундаментальных сферических функций приведены ниже.

        

        

        

        

  

   

        

     

     

     

3. Фундаментальные сферические функции можно рассматривать как  собственные функции следующей задачи Штурма - Лиувилля:

найти значения параметра α  и отвечающие им решения уравнения

             ,

непрерывные в области ,и удовлетворяющие условию однозначности .

Поэтому   образуют замкнутую систему собственных функций, обладающих свойством полноты: любую непрерывную функцию , заданную на поверхности единичной сферы, можно разложить в равномерно сходящийся двойной ряд по сферическим функциям,

                                              (4.195)

Коэффициенты  легко находятся с использованием свойства ортогональности.