СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА         

                                      

1. Четность. При одновременном изменении знака у  t  и  y  в производящей функции она не изменится. Сравнивая два равных ряда,

          и   ,

находим, что              

                                                         (4.178)

Четность полиномов Лежандра определяется четностью индекса.

 

2. Ортогональность. Полиномы Лежандра ортогональны на отрезке    с весом , то есть

                                               (4.179)

Доказательство:  Запишем два тождества

                    

                    

Умножим первое на , второе – на , вычтем одно из другого и проинтегрируем  по  y  от   до :

                  

Во втором интеграле подынтегральное  выражение преобразуется  к полному дифференциалу от выражения, равного нулю на верхнем и нижнем пределах интегрирования, поэтому

                    

При                     

При                     

Квадрат нормы можно вычислить с помощью производящей функции. Вычислим интеграл от ее квадрата

                                    

С другой стороны, непосредственно имеем

 

Разложим  логарифм в ряд Тейлора

        ,        ,   

 

Сравнивая  и  , находим

                                                                     (4.181)

                              

3. Полнота. Полиномы Лежандра являются решениями задачи Штурма - Лиувилля, поэтому они образуют полную систему функций. Это означает, что любую кусочно-непрерывную функцию  можно разложить в ряд по полиномам Лежандра,

                               ,

а коэффициенты разложения  вычислить с помощью соотношения ортогональности  (4.179),                              

           

4. Полиномы Лежандра могут быть вычислены также по формуле  Родрига (или Родригеса)

                                               (4.182)

5. Графики полиномов Лежандра показаны на рис.4.14.

             

                 Рис.4.14  Графики первых четырех полиномов Лежандра