СВОЙСТВА
ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Рекуррентные соотношения
Продифференцируем
по х
ряд
:
Справа получим:
То
же самое проделаем для ряда :
Выполним
теперь дифференцирование непосредственно
в левой части:
в ,
в
После
преобразований получаем рекуррентные соотношения
Вычитая (4.131'')
из (4.131'), находим
(4.132)
С
помощью (4.132) устанавливаем рекуррентное соотношение для функций Неймана,
(4.133)
(4.134)
Формулы
(4.132) и (4.133) позволяют выразить функции Бесселя и Неймана высших порядков через
.
Функции
нецелых порядков выражаются через и . Для них получаем из определения
функций Бесселя:
Формулы
(4.135) позволяют легко представить характер функций Бесселя половинного
аргумента (Рис.8)
Рис.8 Функции Бесселя половинного аргумента и
2.
Нули цилиндрических функций
Нули
цилиндрических функций являются решениями уравнений или . Свойства нулей
устанавливаются следующими теоремами.
1) Все нули цилиндрических функций простые, то
есть в их окрестности функция может быть представлена в виде ;
2) Все нули функций Бесселя с вещественным индексом вещественны;
3) У всякой функции Бесселя и функции Неймана с вещественными
индексами имеется бесконечное множество
нулей. На основании этих свойств нули могут быть перенумерованы в порядке
роста .
4) Нули являются функциями индекса ν. При этом нули функций и c растут с ростом ν.
5) Функции и не имеют общих нулей, кроме, быть может, .
Ортогональность функций Бесселя
Уравнение
Бесселя получено при разделении переменных в задаче Штурма - Лиувилля. Следовательно, его решения должны обладать
свойствами собственных функций задачи Штурма - Лиувилля.
В частности, они являются ортогональными на отрезке (0,l). Этот факт формулируется
в виде теоремы:
Функции
Бесселя c ортогональны на интервале с весом,
то есть
(4.136)
или
где -
корни одного из уравнений
.
Квадрат
нормы функции Бесселя равен
или
По функциям
Бесселя, как собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля,
может быть разложена в ряд Фурье любая "хорошая" функция. Особенно
они удобны в задачах с цилиндрической симметрией, тогда как тригонометрические
функции удобнее в декартовых координатах.
Возвратимся
к охлаждающемуся цилиндру. Общее решение уравнения (4.114) имеет вид
Из
условия его ограниченности в нуле получаем
,
Собственные
значения находим из граничного условия на поверхности цилиндра при ,
где - корни функции Бесселя . Из соображений
симметрии температура внутри цилиндра не может зависеть от азимутального угла . Это возможно только при
m=0 . Таким образом, решение принимает вид
Из
(4.115) получаем безразмерное поле температур
(4.138)
Постоянные находим из начального
условия
Умножаем
его на и интегрируем
по отрезку :
С
учетом соотношения ортогональности и (4.130'')
получаем
( используем
(4.137''))
(4.139)
В
размерных величинах поле температур
имеет вид
(4.140)
Для
получения результата приемлемой точности на практике можно ограничиться
конечным числом n слагаемых в
сумме (4.140). Графики функции показаны на рис. 4.10.
Рис.4.10 Радиальное
распределение температуры цилиндра
радиуса
R = 0,025м через 0,1; 1; 5; 25 сек после
погружения в
закалочную среду с температурой
.