УРАВЕНИЕ БЕССЕЛЯ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Уравнение Бесселя  является частным случаем  обыкновенного дифференциального уравнения вида

 

                                                  

или                                             

Как всякое уравнение второго порядка, уравнение Бесселя должно иметь два независимых решения.

Характер этих решений существенным образом зависит от поведения функций    и  ,  или    и  .

Те точки z, в которых  y(z)  и  её первая и вторая производные остаются конечными, называются обыкновенными. В этих точках    и    конечны.

Точка , в которой  становится  бесконечной при любых конечных    и  ,  называется особой точкой. В такой точке   либо , или  . Различают два вида особых точек.

1. Если  либо , но при этом   и , то точка    называется регулярной особой точкой или несущественной особенностью. В этом случае   и   стремятся к бесконечности медленнее, чем   и  .

2. Если при ,  также и , , то точка   называется нерегулярной особой точкой или существенной особенностью.

Уравнение Бесселя обладает особой точкой  .  Для него ,   ,  но  , поэтому  - регулярная особая точка.

Важность особых точек обусловлена справедливостью теоремы Фукса:

 В окрестности обыкновенной или регулярной особой точки можно построить, по крайней мере, одно решение   уравнения  (4.116) в виде степенного ряда.

Характер второго, линейно независимого решения, устанавливает другая теорема (Теорема о втором решении):

Если , , , ,  ,  ,   и    непрерывна в точке а  и  её окрестности, то второе, линейно независимое с , решение уравнения (4.116) в окрестности точки а имеет вид

                   ,       при  ,

или                  ,   при  ,

причем  и   ограничены в точке а и её окрестности.

Доказательство этой теоремы приведено, например, в книге В.Я.Арсенина.

Для  уравнения Бесселя  , поэтому имеем следствие из теоремы о втором решении: если одно решение имеет вид

                                  ,

причем , а функция не равна нулю  и  непрерывна в точке    и  её окрестности, то другое, линейно независимое с , решение неограниченно в окрестности  точки   и  имеет вид

                   ,         при   

или                  , при 

Общее решение  уравнения (4.116) записывается в виде

                           

Если краевая задача ставится на отрезке, один конец которого является особой точкой, то физически разумное решение на всем отрезке получим, если положим . Таким образом, условие ограниченности играет роль краевого условия. Оно должно явно формулироваться в математической постановке задачи.

Перейдем к построению решений уравнения Бесселя. Первое решение найдем методом Фробениуса, представив его в виде ряда

                 (4.117)

Подставим ряд (4.117) в уравнение , для чего вычислим его отдельные слагаемые:

                        

                                  

                                                      

Третье слагаемое приведем к степени :

        

Остальные слагаемые разобьем на  и  члены низших степеней

 

              

          

 

 

Сложим все четыре слагаемых  и приведем подобные члены:

 

       (4.118)

Ряд (4.117) будет решением, если (4.118) удовлетворяется тождественно. Это возможно, если равны нулю коэффициенты при всех степенях  х, то есть

                                                                 (4.119)

                                                         (4.120)

                                              (4.121)

Так как , то из (4.119) получаем   .  Возьмем  , тогда  из (4.120) следует   ,  или  .   Наконец, из (4.121) находим рекуррентное соотношение между коэффициентами

                                    (4.122)

Из (4.122) следует, что все нечетные коэффициенты равны нулю,

                              

Четные коэффициенты находим последовательно с помощью (4.122)

                              

                                

        

        

     

 

                        

Тем самым решение уравнения Бесселя построено в виде обобщенного степенного ряда

  

                                                                                          (4.123)

Оно называется функцией Бесселя порядка m. Коэффициенты удобно выразить через  Г - функцию. Как известно, для целых  m 

                    

Обобщая, этим же выражением определяют  Г - функцию для любых нецелых  m = ν. Тогда  и ряд Функции Бесселя запишутся в виде

             

         (4.124)

Коэффициент  пока остается неопределенным. Его принято полагать равным . Тогда                                                                                       (4.125)

 

Ряд, представляющий функцию Бесселя, сходится всюду, кроме, быть может, точки . Следовательно, и функция Бесселя является решением уравнения Бесселя всюду, кроме, быть может, точки . Аргумент функции Бесселя может быть комплексным, . Если  ν = m  - целое, то функция Бесселя определена всюду и однозначна. Если ν - нецелое, то из-за множителя   функция Бесселя неоднозначна.  Однозначную ветвь функции Бесселя выделяют, разрезая комплексную плоскость вдоль отрицательной части вещественной оси. В области однозначности .

Второе решение получаем заменой  ν  на  -ν  в  (4.125). Так как  ν  входит в уравнение Бесселя во второй  степени, то функция

                 

также будет его решением. В окрестности точки    пропорциональна , а    -  пропорциональна . Поэтому эти два решения линейно независимы. Следовательно, при нецелом  ν  общее решение уравнения Бесселя запишется в виде

                                              (4.126)

Если  ν = m  -  целое, то имеем

               

При      расходится на нижнем пределе, поэтому в сумме останутся слагаемые, начиная с  k = m:

                    

Сделаем замену  :

                       

                    

Таким образом, функция   пропорциональна  и не является  линейно независимым решением. Поэтому при  целых  ν  второе решение определяют в виде функции Неймана

                                       (4.127)

Очевидно, что она является решением уравнения Бесселя. Однако при  ν = m получаем

      

Поэтому  для целых  индексов  функция Неймана определяется пределом

            (4.128)

Следовательно, общее решение уравнения Бесселя можно всегда записать в виде

                                              (4.129)

Графики функций  показаны на рис.7  

       Рис.7  Графики двух первых функций Бесселя и Неймана