УРАВНЕНИЯ  ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО  ТИПА

 

Для одномерного гиперболического уравнения

                                                            (3.1)

начальные условия задаются значениями искомой функции и ее первой производной по времени в начальный момент времени :

                                      (3.2)

Они определяют частное решение уравнения (3.1) на бесконечной прямой. Если решение ищется на отрезке, то  задаются условия на его концах   и  . Эти граничные условия классифицируются следующим образом.

1.    Если заданы значения функции  на концах отрезка,         

                                                       (3.3)

то имеем граничные условия первого рода. Физически они означают, например, что на границах поддерживается заданное смещение частиц колеблющейся среды, либо значения электрического или магнитного поля.

2.    Если заданы значения производных  искомой функции на концах отрезка,

                                         (3.4)

то имеем граничные условия второго рода. Они задают механическое напряжение или давление на границе.

3.    Если на концах отрезка задаются линейные соотношения между значениями искомой функции  и её производной,

                                             

                                              

то имеем граничные условия третьего рода. Они описывают действие упругой силы на границу.

4.    Если на концах отрезка заданы граничные условия разного рода, то они называются смешанными.

При    граничные условия называются однородными. Граничные условия 1.- 4. являются линейными. В общем случае связь   с  u  может быть нелинейной.

Математически краевая задача для уравнения (3.1) формулируется следующим образом:

найти функцию , определенную в области , удовлетворяющую уравнению (3.1) для , заданным граничным условиям (3.3), (3.4) или (3.5) при  и заданным начальным условиям при .

Аналогично ставится краевая задача для уравнения

                                       

Соответственно типу граничных условий задачи называются первой краевой,  второй краевой, третьей краевой.

Если интересоваться поведением решения в течение столь малого промежутка времени, что влияние границ еще не сказалось, то можно рассматривать предельную задачу с начальными условиями  для безграничной области - задачу Коши:

найти решение уравнения (3.1) для    c  начальными условиями (3.2) при .

В силу линейности уравнения (3.1) и краевых условий решение общей краевой задачи можно свести к сумме решений более простых задач. Покажем эту процедуру редукции на примере первой краевой задачи

                   (3.6)

                                                                  (3.7)

Представим её решение в виде суммы четырех функций

                 

Оно удовлетворяет уравнению (3.6) и краевым условиям (3.7):

      

                

 Если функции   представить  в виде

                                                             (3.8)

то функции  будут решениями краевых задач

                  

                            

Представление (3.8) можно  осуществить множеством способов. Самым удобным является следующий:

                              

 i - й столбец задает неоднородное слагаемое и правые части краевых условий для функции .  Таким образом, исходная задача сведена к четырем более простым: трем задачам для однородного уравнения с ненулевыми краевыми условиями

                                 

и задаче для неоднородного уравнения с нулевыми краевыми условиями

                                

Аналогично можно произвести редукцию второй и третьей краевой задач.

При числе пространственных переменных  краевые задачи ставятся сходным образом. Например, первая краевая задача для области:

найти функцию , определенную при  внутри заданной области  T  с границей  S ,   удовлетворяющую при   внутри  T  уравнению

                                              (3.9)

граничному условию на  S      (3.10)

и начальным условиям             (3.11)

Для уравнения , удовлетворяющего соответствующим начальным и граничным условиям, справедлива следующая теорема существования и единственности  решения:

в области определения  существует только одно решение  , если

1)    ,непре­рывны в области определения,

2)    коэффициенты  непрерывны на отрезке.

 

Хостинг от uCoz