1.1.1.РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ.

      

Процесс распространения тепла в пространстве характеризуется температурой  , являющейся функцией координат и времени. Она задает поле температур. При неоднородном поле температур возникают, как известно из термодинамики, тепловые потоки. Согласно закону Фурье, плотность теплового потока   пропорциональна градиенту поля температур,

                                                                       (1.1)

где    -  коэффициент теплопроводности. В изотропной среде   - скаляр. Поток тепла через площадку , где  - нормаль к площадке, равен

                                                                                      (1.2)

Рассмотрим баланс тепла в объеме V, ограниченном поверхностью S. Изменение количества  тепла в этом объеме за время от момента  до момента

                                    (1.3)

где - удельная теплоемкость среды, - ее плотность, равно сумме его оттока из объема через поверхность S

                                                                (1.4)

и генерации тепла в объёме источниками мощностью  

                                                           (1.5)

По теореме Остроградского - Гаусса

                                             (1.6)

Из (1.3) - (1.6) получаем уравнение баланса тепловой энергии

               (1.7)

Оно справедливо для любого объема V,  поэтому равны подынтегральные выражения слева и справа в (1.7), то есть

  (1.8)

Если предположить, что функция  дважды дифференцируема по координатам и один раз по времени, то получим, применив теорему о среднем

      

где ,. Переходя к пределу , получаем дифференциальное уравнение

                      ,       

которое, с учетом  (1.1), принимает вид

                                       (1.9)

При постоянных   (1.9)  упрощается  до

               (1.9')

где   -  коэффициент температуропроводности, .